論理学・集合論

741 ：山本大輝 ◆MR2ZPDP6w6 ：2020/04/05(日) 12:46:21 ID:0.net

すなわち

(∃x(x¬∈A^c∩B^c⇒x¬∈C^c))

⇒(∃x(x¬∈A^c⇒x¬∈C^c)∧∃x(x¬∈B^c⇒x¬∈C^c))

を示す．∃x(x¬∈A^c∩B^c⇒x¬∈C^cを前提?とする．

(?)　後件∃x(x¬∈A^c⇒x¬∈C^c)が成り立つこと

　∃a¬∈A^cを前提?とする．ド・モルガンの法則から(A^c∩B^c)?(A∪B)^cであるから適当に

∃a(a¬∈(A∪B)^c)

を選べば前提?よりa¬∈C^cを得る．さらに前提?が在るので

∃a(a¬∈A^c⇒a¬∈C^c)

である．

(?)　後件∃x(¬∈B^c⇒a¬∈C^c)が成り立つこと

　∃x¬∈B^cを前提?とし，∃b¬∈B^cを考える．(?)と同様にして∃b¬∈(A∪B)^cを適当に選ぶと
前提?からb¬∈C^cを得る．そして，前提?から∃b(b¬∈B^c⇒b¬∈C^c)である．
　以上(?)かつ(?)より対偶が成立する．ゆえにもとの命題が示された．　□